已知抛物线上一点A(2.1)到焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程,任作一动直线交抛物线于M.N两点.记$\overrightarrow{QM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$.若在直线上取一点R.使得$\overrightarrow{RM}$=$-λ\overrightarrow{NR}$.试判断当直线运动时.点R是否在某一轨迹上运动.若是.求出该轨迹的方程,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知抛物线上一点A（2，1）到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点Q（0，-2）任作一动直线交抛物线于M、N两点，记$\overrightarrow{QM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，若在直线上取一点R，使得$\overrightarrow{RM}$=$-λ\overrightarrow{NR}$，试判断当直线运动时，点R是否在某一轨迹上运动，若是，求出该轨迹的方程；若不是，请说明理由．

分析（1）由已知可得抛物线的准线为y=-1，进而得到抛物线的方程；
（2）由题意知直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=kx-2，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线和抛物线方程，得x²-4kx+8=0，由此利用向量知识、韦达定理，结合已知条件能求出点R在定直线y=2上

解答解：（1）∵抛物线上一点A（2，1）到焦点的距离为2．
故点A（2，1）到准线的距离也为2，
故抛物线的准线为y=-1，
故抛物线的方程为：x²=4y
（2）由题意知直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=kx-2，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx-2\end{array}\right.$，
消去y，得x²-4kx+8=0，
∴△=16（k²-2）＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=8，
由$\overrightarrow{QM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，得x₁=-λx₂，
解得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
设点R的坐标为（x₀，y₀），则由$\overrightarrow{RM}$=$-λ\overrightarrow{NR}$，
得x₁-x₀=-λ（x₀-x₂），
解得x₀=$\frac{{λx}_{2}-{x}_{1}}{λ-1}$=$\frac{{-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•x}_{2}-{x}_{1}}{-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{4}{k}$，
则y₀═kx₀-2=2，
故点R在定直线y=2上．