Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（1）结合三视图，得到几何体及其相关棱长，求四棱锥P-ABCD的底面面积和高，即可求出V_P-ABCD的体积．
（2）连BP，由已知中

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA与∠BAP均为直角，我们可以得到PB⊥AE，结合BC⊥AE，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．

解答：解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

PA•S_{四边形ABCD}=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．
（2）连接BP，
∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，
∴∠PBA=∠BEA．
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°．
∴PB⊥AE．
又BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE．
∴AE⊥平面PBG．
∴AE⊥PG．

点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直的性质及几何体的体积的求法，考查计算能力．