题目内容
20．已知正项数列{an}中，a1=2，$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-2n{a_{n-1}}-4{n^2}=0$，（n≥2，n∈N）（1）写出a2、a3的值（只须写结果）；
（2）求出数列{an}的通项公式；
（3）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{b_n}$恒成立，求实数t的取值范围．
分析 （1）根据$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-2n{a_{n-1}}-4{n^2}=0$，（n≥2，n∈N）写出答案即可；
（2）由已知条件得到（an+2n）（an-an-1-2n）=0，由此求得${a_n}-{a_{n-1}}-2n=0\begin{array}{l}{\;}{（n＞2）}\end{array}$，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1；
（3）利用裂项法求得bn=$\frac{1}{（2n+\frac{1}{n}）}+3$，然后利用换元法得到令$f（x）=2x+\frac{1}{x}$（x≥1），则其导函数为$f'（x）=2-\frac{1}{x^2}≥2-1＞0$，结合函数的单调性进行解答．
解答 解：（1）a2=6，a3=12；
（2）由已知可得：（an-2n）（an+2n）-an-1（an+2n）=0，
∴（an+2n）（an-an-1-2n）=0，
又an＞0，
∴${a_n}-{a_{n-1}}-2n=0\begin{array}{l}{\;}{（n＞2）}\end{array}$，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2+4+6+…+2n=n（n+1）；
（3）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+\frac{1}{2n（2n+1）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{n}{{2{n^2}+3n+1}}=\frac{1}{{（2n+\frac{1}{n}）+3}}$．
令$f（x）=2x+\frac{1}{x}$（x≥1），则$f'（x）=2-\frac{1}{x^2}≥2-1＞0$，
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，${（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$．
${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{b_n}$（?n∈N*，?m∈[-1，1]）$?{t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$，
即t2-2mt＞0（?m∈[-1，1]）$?\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$．
解之得，实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
点评 考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{7}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 3 |
一直角梯形的直观图是一个如图所示的梯形，且OA′=2，B′C′=OC′=1，则该直角梯形的面积为（ ）| A． | 若α⊥β，则m⊥n | B． | 若α∥β，则m∥n | C． | 若m⊥n，则α⊥β | D． | 若n⊥α，则α⊥β |