Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PA⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求二面角A-BC-P的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，由已知得PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，从而AD⊥平面PGB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）取PB的中点F，联结MF、CF，由已知得四边形CDFM是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB． 
（Ⅲ）取BC的中点E，联结PE、GE，则∠PEC是二面角A-BC-P的平面角，由此能求出二面角A-BC-P的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD． …（1分）
∵PA=PD，∴PG⊥AD．…（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．…（3分）
∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）证明：取PB的中点F，联结MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．…（5分）
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，且AB=2CD，
∴MF∥CD，且MF=CD．…（6分）
∴四边形CDFM是平行四边形，∴DM∥CF． …（8分）
∵CF?平面PCB，∴DM∥平面PCB． …（9分）
（Ⅲ）解：取BC的中点E，联结PE、GE，
∵四边形ABCD是直角梯形，且AB∥CD，
∴GE∥AB，GE⊥BC，∴BC⊥平面PEC，∴BC⊥PE，
∴∠PEC是二面角A-BC-P的平面角．…（11分）
设DC=a，则AB=AD=2a，
∵G、E分别为AD、BC中点，∴GE=

AB+CD

2

=

3

2

a．
∵G是等腰直角三角形PAD斜边的中点，∴PG=

1

2

AD=a．…（13分）
∴tan∠PEG=

2

3

，∴二面角A-BC-P的正切值为

2

3

．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．