Question

【题目】已知椭圆方程为，和分别是椭圆的左右焦点.

①若P是椭圆上的动点，延长到M，使，则M的轨迹是圆；

②若是椭圆上的动点，则；

③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；

④点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为

以上说法中，正确的有（ ）

A.①③④B.①③C.②③④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用椭圆的定义，判断①是否正确；利用椭圆的几何性质，判断②是否正确；根据两个圆的位置关系，判断③是否正确；利用椭圆的定义，结合余弦定理、三角形面积公式，计算出椭圆的焦点三角形的面积，由此判断④是否正确.

对于①，根据椭圆的定义可知，所以，也即到的距离为定值，故的轨迹是圆，所以①正确.

对于②，当为左顶点时，，当为右顶点时，，所以，所以②错误.

对于③，以为直径的圆，圆心为，半径是.以长轴为直径的圆，圆心为，半径为.连接，则是三角形的中位线，由于，所以，即两圆圆心角等于两圆半径之差，故两个圆内切，故③正确.

对于④，设，依题意（*），由余弦定理得（**），而三角形的面积为（***），将（*）、（**）、（***）联立化简得，.故④正确.所以正确的为①③④.

故选：A.