Question

【题目】已知函数f(x)的导函数满足对恒成立．

(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；

(2)若在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增；（2）．

【解析】

（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定m的范围即可．

(1)由，得．

，

则 ，

故在(1，+∞)上单调递增．

(2)∵，∴，

即．

设函数，

，

∵x>1，∴1+lnx>0，为增函数，

则．

当2e+m≥0，即m≥-2e时，，则h(x)在(1，+∞)上单调递增，

从而h(x)>h(1)＝0．

当2e+m<0，即m<-2e时，则，

若1<x<x0，；若x>x0，．

从而，这与h(x)>0对恒成立矛盾，故m<-2e不合题意．

综上，m的取值范围为[-2e，+∞)．

评分细则：

第(1)问中，函数g(x)的导数计算正确给1分；

第(2)问中，整理得到得1分；必须因式分解得到才能给1分．