题目内容
【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线
，直线
为曲线
在点
处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及
轴所围成的平面图形，记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为
.给出以下四个几何体：
① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为
的圆锥；
图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为的正四棱锥；
图④是将上底面直径为
，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.
几何体
是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，
且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为
，切线对应的横坐标为
，
切线为
，即
，
横截面面积
图①中的圆锥高为1，底面半径为
，可以看成由直线
绕
轴旋转得到
横截面的面积为
.
所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，
故选A项.
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