Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得

an

an-1

=2．判定出{a_n}是等差数列，通项公式易求．
（2）由（1）a_n=2ⁿ，则bn=log22n=n，得出cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，裂项后计算化简求和．

解答： 解：（1）由题意知，2a_n=S_n+2，a_n＞0．
当n=1时，2a₁=a₁+2，∴a₁=2，
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得

an

an-1

=2．
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=a₁•2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ，则bn=log22n=n，
∴cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

故 Tn=c1+c2+…+cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的判定，通项公式，和的计算，考查转化构造，计算能力．本题中的数列求和法为裂项法．