Question

已知数列{a_n}是公差d不为零的等差数列，{b_n}是等比数列，函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．
（Ⅰ）求a₆的值；
（Ⅱ）若f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₂=-

7

2

，设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n=-

4

9

，求正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．可得b₃=-4，且当x=-

b2

2b1

时，函数f（x）取得最大值

4b1b3- b 2 2

4b1

=b₃-

1

4

b3=a6-

7

2

，解得a₆．
（II）由f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），可得

a2+a8+a3+a11

2

=-

b2

2b1

．化为-

b2

2b1

=

4a6

2

，即可解得

b2

b1

．
（Ⅲ）由于a₂=-

7

2

，a₆=

1

2

，可得公差d=

a6-a2

4

=1，即可得出a_n=

2n-11

2

．可得

1

anan+1

=

4

(2n-11)(2n-9)

=

1

2n-11

-

1

2n-9

．利用“裂项求和”可得数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n=-

1

9

-

1

2n-9

．由于T_n=-

4

9

，令-

4

9

=-

1

9

-

1

2n-9

，解得n即可．

解答： 解：（I）∵函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．
∴b₃=-4，当x=-

b2

2b1

时，函数f（x）取得最大值

4b1b3- b 2 2

4b1

=b₃-

1

4

b3=-4+1=-3=a6-

7

2

，解得a₆=

1

2

．
（II）∵f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），∴

a2+a8+a3+a11

2

=-

b2

2b1

．∴-

b2

2b1

=

4a6

2

=2a₆=1，
∴公比q=

b2

b1

=-2．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=b3•qn-3=-4×（-2）^n-3=-（-2）^n-1．
（Ⅲ）∵a₂=-

7

2

，a₆=

1

2

，∴公差d=

a6-a2

4

=1，∴a_n=a₂+（n-2）d=-

7

2

+n-2=n-

11

2

=

2n-11

2

．

1

anan+1

=

4

(2n-11)(2n-9)

=

1

2n-11

-

1

2n-9

．
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n=(

1

-9

-

1

-7

)+(

1

-7

-

1

-5

)+…+(

1

2n-11

-

1

2n-9

)=-

1

9

-

1

2n-9

．
∵T_n=-

4

9

，∴-

4

9

=-

1

9

-

1

2n-9

，解得n=6．

点评：本题综合考查了二次函数的性质、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．