题目内容

设f(x)=x+
4
x
，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．
（1）由f(x)=x+
4
x
知，定义域为{x|x≠0}
显然，定义域关于原点对称．
f(-x)=-x+
4
-x
=-(x+
4
x
)=-f（x）
所以．f（x）为奇函数
（2）①任取x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因为x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
则x1-x2＜0；
0＜x1x2＜4，
4
x1x2
＞1，所以1-
4
x1x2
＜0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＞0
故f（x1）＞f（x2）
所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
②任取x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因为x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
则x1-x2＜0；
x1x2＞4，0＜
4
x1x2
＜1，所以1-
4
x1x2
＞0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＜0
故f（x1）＜f（x2）
所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数．
∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+
1
x
为“凹函数”．
设函数f（x）=
a2x-(t-1)
ax
（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的反函数过点(
3
2
，1)，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．
设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）证明f（x）为奇函数．
（2）证明f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．
已知函数f（x）=
a
a2-1
（ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的实数m的取值范围．
已知偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（1）=0，则满足xf（x）＜0的x的取值的范围为（　　）
A．（-1，1）B．[-1，1]C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数t使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是 ______．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 ______．
设函数f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）指出函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数的值域．
若f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=(
1
2
)x+1，则f（x）的图象大致是（　　）
A．B．C．D．

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