题目内容

设函数f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）指出函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数的值域．
（1）由于函数f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）的定义域关于原点对称，
且满足f（-x）=（-x）2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f（x），
故函数f（x）为偶函数．
（2）由于函数f（x）=
x2-2x-1，x≥0
x2+2x-1，x＜0
，如图所示：
故它的单调增区间为[-1，0]、[1，+∞）．
（3）结合函数的图象可得函数没有最大值，当x=±1 时，函数取得最小值为-2，
故函数的值域为[-2，+∞）．
练习册系列答案
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下面有四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交．
②奇函数的图象不一定过原点．
③偶函数若在（0，+∞）上是减函数，则在（-∞，0）上一定是增函数．
④有且只有一个函数既是奇函数又是偶函数．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
设f(x)=x+
4
x
，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．
已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（　　）
A．-1B．1C．-5D．5
对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设函数f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切t∈R恒成立，求实数t的取值范围．
（3）若函数g（x）=mx+
x2+2x+n
是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．
如果f（x）的图象关于y轴对称，而且在区间[0，+∞）为增函数，又f（-2）=0，那么（x-1）f（x）＜0的解集为______．
设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足f(x)=f(
x+3
x+4
)的所有的x的和为______．
已知定义在R上的奇函数f（x）的图象经过点（2，2），且当x∈（0，+∞）时，f（x）=loga（x+2）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
已知函数f（x）=x3-ax，g(x)=
1
2
x2-lnx-
5
2

（1）若对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（2）记G(x)=
1
2
x2-
5
2
-g(x)，求证：G(x)＞
1
ex
-
2
ex
．

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