Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+

1

x

为“凹函数”．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；…（1分）
由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，…（3分）
当a＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
当a＜0时，解f′(x)=

ax+1

x

＞0得0＜x＜-

1

a

，解f'（x）＜0得x＞-

1

a

，
所以函数f（x）在(0，-

1

a

)上是增函数，在(-

1

a

，+∞)上是减函数．…（5分）
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，函数f（x）在(0，-

1

a

)上是增函数，在(-

1

a

，+∞)上是减函数．
（2）当a=-1时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以g(x)=|f(x)|+

1

x

=-f(x)+

1

x

=

1

x

+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）
设x₁，x₂∈（0，+∞），
计算

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(

1

x1

+x1-lnx1+

1

x2

+x2-lnx2)=

x1+x2

2x1x2

+

x1+x2

2

-ln

x1x2

，g(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

+

x1+x2

2

-ln

x1+x2

2

，
因为

x1+x2

2

≥

x1x2

，所以ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，-ln

x1+x2

2

≤-ln

x1x2

，…（8分）

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2(x1+x2)

=

-(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

≤0，所以

2

x1+x2

≤

x1+x2

2x1x2

，…（10分）
所以

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)，即当a=-1时，g(x)=|f(x)|+

1

x

为“凹函数”．