Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．

（1）求证：EB∥平面PCD；

（2）求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2) ．

【解析】

（1）取AD中点F，连结EF、BF，推导出BF∥CD，EF∥PD，从而平面BEF∥平面PCD，由此能证明EB∥平面PCD．

（2）连结PF，则PF⊥平面ABCD，四边形BCDF是边长为1的菱形，△ABF是边长为1的等边三角形，以F为原点，在平面ABCD中过F作AD的垂线为x轴，FD为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PCD所成角的余弦值．

（1）证明：取AD中点F，连结EF、BF，

∵BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点，

∴BF∥CD，EF∥PD，

∵BF∩EF＝F，CD∩PD＝D，

∴平面BEF∥平面PCD，

∵EB平面BEF，∴EB∥平面PCD．

（2）解：连结PF，∵四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，

四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．

∴PF⊥平面ABCD，四边形BCDF是边长为1的菱形，△ABF是边长为1的等边三角形，

以F为原点，在平面ABCD中过F作AD的垂线为x轴，FD为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），C（，，0），D（0，1，0），

（0，﹣1，﹣1），（，，﹣1），（0，1，﹣1），

设平面PAC的法向量（x，y，z），

则，取y＝1，得（，1，﹣1），

设平面PCD的法向量（x，y，z），

则，取y＝1，得（，1，1），

设平面PAC与平面PCD所成角为θ，

则cosθ．

∴平面PAC与平面PCD所成角的余弦值为．