Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面.

（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】

（1）设为的中点，连接，，证明OE为三角形BPF的中位线，得即可证明（2）证明平面，由，过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，假设线段上存在一点，设，得，由直线与平面所成角的正弦值为列的方程求解即可

（1）证明：设为的中点，连接，，则.

∵，，，

∴四边形为正方形.

∵为的中点，∴为，的交点，

∴为的中点，即OE为三角形BPF的中位线

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，为的中点，

∴.∵，∴，

∴，.

在中，，∴.

又∵，∴平面.

又因为，所以过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，

以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

假设线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为.

设，则，

即.

设平面的一个法向量为，则，即.

取，得平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，令，

得，

化简并整理得，解得（舍去），或.

所以，当时，直线与平面所成角的正弦值为.