Question

【题目】已知函数(，为自然对数的底数)

(1)若，求函数的极值；

(2)若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式(用表示)，并确定的单调区间；

(3)在(2)的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】∴当时，函数有极大值，，

当时，单调递增区间为和，递减区间为

当时，单调递增区间为和，递减区间为

【解析】

解：（1）∵……1分

当时， 则 ---2分

令得，∵∴，解得---3分

∵当时，，当时，当时

（或列表）……4分

∴当时，函数有极大值，，

当时，函数有极小值，.----------5分

（2）由（1）知∵是函数的一个极值点 ∴即，解得------6分

则＝ K^S*5U.C#O%下标

令，得或

∵是极值点，∴，即--------------------------7分

当即时，由得或

由得-----------8分

当即时，由得或

由得--------9分

综上可知：当时，单调递增区间为和，递减区间为

当时，单调递增区间为和，递减区间为----10分

（3）由（2）知，当a>0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，K^S*5U.C#O%下标

∴函数在区间上的最小值为又∵ ，，∴函数在区间[0，4]上的值域是，即-------11分又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是----12分∵－＝＝，∴存在使得成立只须仅须

－<1 .--14分