Question

14．已知公差为正数的等差数列{a_n}满足：a₁=1，且2a₁，a₃-1，a₄+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₂，a₅分别是等比数列{b_n}的第1项和第2项，求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设数列{a_n}的公差为d（d＞0），运用等比数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，进而得到公比q=3，即可得到$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ） 设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由2a₁，a₃-1，a₄+1成等比数列，
可得$2{a_1}•（{a_4}+1）={（{a_3}-1）^2}$，
则2（1+3d+1）=（1+2d-1）²，
解得$d=-\frac{1}{2}$（舍去）或d=2，
所以{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
则等比数列{b_n}的公比q=3，
于是$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．
所以T_n=$\frac{{\frac{1}{3}×（1-{{（\frac{1}{3}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．