Question

如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥面ABF；
（Ⅱ）求异面直线BE与AF所成的角；
（Ⅲ） 求该几何体的表面积．

Answer 1

（1）证明：因为面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交线AD，AF?面ADEF，
所以AF⊥面ABCD．（2分）
故 AF⊥AC，又 BF⊥AC，AF∩BF=F．
所以AC⊥面ABF．…（4分）
（2）解：由（1）得AF，AB，AC两两互相垂直，
故可以以A点为坐标原点，
建立如图空间直角坐标系A-xyz，
∵BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
∴，F（0，0，2）．…（6分）
，，
cos＜＞===．
即异面直线BE与AF所成的角的余弦值为．…（8分）
（3）解：由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，
所以△ABF的面积．…（9分）
同理△CDE的面积S₂=2，等腰梯形BCEF的上底长为2，下底长为4，两腰长均为，则它的高为，
所以其面积．…（10分）
等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2，
则它的高为，
所以其面积．…（11分）
故该几何体的表面积．…（12分）
分析：（1）因为面ADEF⊥面ABCD，AF⊥交线AD，AF?面ADEF，所以AF⊥面ABCD由此能够证明AC⊥面ABF．
（2）由（1）得AF，AB，AC两两互相垂直，故可以以A点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，则，，由向量法能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．
（3）由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，所以△ABF的面积．同理△CDE的面积S₂=2，等腰梯形BCEF的上底长为2，下底长为4，两腰长均为，则它的高为，等腰梯形ABCD的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2，它的高为，由此能求出该几何体的表面积．
点评：本题考查AC⊥面ABF的证明，求异面直线BE与AF所成的角，求该几何体的表面积．解题时要认真审题，合理地化空间几何问题为平面几何问题，注意向量法的灵活运用．