Question

8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$无最大值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，可得极值点，讨论a=-1，a＜-1，a＞-1，结合单调性和f（x）无最大值，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$的导数为
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-3，x≤a}\\{-2，x＞a}\end{array}\right.$，
令f′（x）=0，则x=±1，
当a=-1时，可得f（x）在（-∞，-1]递增，
可得f（x）在x=-1处取得最大值2，与题意不符，舍去；
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2a＞{a}^{3}-3a}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{-2a＞{a}^{3}-3a}\\{-2a＞2}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，即为a＜-1或a∈∅．
综上可得a∈（-∞，-1）．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，以及运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．