Question

3．设定义在区间（-b，b）上的非常函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函数，则a^b的范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 根据题意，b＞0，且f（-x）=-f（x），求得a=2，可得f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$，故函数的定义域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），0＜b≤$\frac{1}{2}$，从而求得a^b的范围．

解答 解：根据定义在区间（-b，b）上的非常函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函数，b＞0，且f（-x）=-f（x），
∴lg$\frac{1-ax}{1+2x}$=-lg$\frac{1+ax}{1-2x}$，即  lg$\frac{1-ax}{1+2x}$+lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=lg（$\frac{1-ax}{1+2x}$•$\frac{1+ax}{1-2x}$ ）=0，∴$\frac{1{-a}^{2}{•x}^{2}}{1-4{•x}^{2}}$=1，∴a=2或a=-2（不合题意，舍去）．
故f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$，故函数的定义域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），0＜b≤$\frac{1}{2}$，∴1＜a^b≤$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的定义域以及值域，属于中档题．