Question

已知向量，=（sinB，1-cosB），且向量与向量=（2，0）的夹角，其中A、B、C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量的数量积求出，再求出的模，代入向量夹角的余弦值列出方程，再由平方关系化简，求出
cosB，再由内角的范围求出B；
（2）由（1）和内角和定理用A表示C，代入cosA•cosC利用两角差的余弦公式、两角和的正弦公式化简，再求出A的范围，进而求出“”的范围，再根据正弦函数的性质，求出cosA•cosC的范围．
解答：解：（1）由题意得，=2sinB，
||==，
∵与的夹角为，
∴=，即=，
化简得，2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解得cosB=1或cosB=，
∵0＜B＜π，∴B=，
（2）由（1）得，B=，则A+C==，∴C=，
∴cosA•cosC=cosA•cos（）
=cosA（）=
=
=
=
由C=＞0得，0＜A＜，则，
∴，
则，
故cosA•cosC的取值范围是：．
点评：本题是向量与三角函数结合的综合题，考查了向量的数量积，两角差的余弦公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质等知识，考查运算能力．