Question

11．给出以下结论：
①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，若l₁⊥l₂，则|α₁-α₂|=90°；
②对任意角θ，向量$\overrightarrow{e_1}$=（cosθ，sinθ）与$\overrightarrow{e_2}$=（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，$\sqrt{3}$cosθ+sinθ）的夹角为$\frac{π}{3}$；
③若△ABC满足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{b}{cosA}$，则△ABC一定是等腰三角形；
④对任意的正数a，b，都有1＜$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{{\sqrt{a+b}}}$≤$\sqrt{2}$．
其中错误结论的编号是③．

Answer 1

分析 ①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，若l₁⊥l₂，α₁-α₂=±90°，即可判断出正误；
②由|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1，利用cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|}$，即可判断出正误；
③由△ABC满足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{b}{cosA}$，利用正弦定理、倍角公式可得：sin2A=sin2B，又A，B∈（0，π），可得A=B，A+B=$\frac{π}{2}$，即可判断出正误；
④对任意的正数a，b，由配方作差可得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}$＞$\sqrt{a+b}$，利用基本不等式可得2（a+b）≥$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$，j即可判断出正误．

解答 解：①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，若l₁⊥l₂，α₁-α₂=±90°，∴|α₁-α₂|=90°，因此正确；
②对任意角θ，向量$\overrightarrow{e_1}$=（cosθ，sinθ）与$\overrightarrow{e_2}$=（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，$\sqrt{3}$cosθ+sinθ），|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=$\sqrt{（cosθ-\sqrt{3}sinθ）^{2}+（\sqrt{3}cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ•（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）+sinθ（$\sqrt{3}$cosθ+sinθ）=1，∴cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，可得其夹角为$\frac{π}{3}$，正确；
③若△ABC满足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{b}{cosA}$，则sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
④对任意的正数a，b，∵$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$-$（\sqrt{a+b}）^{2}$=2$\sqrt{ab}$＞0，∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}$＞$\sqrt{a+b}$，即$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}$＞1；2（a+b）≥$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$，∴$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}$≤$\sqrt{2}$，因此1＜$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{{\sqrt{a+b}}}$≤$\sqrt{2}$，正确．
综上可得：只有③错误．
故答案为：③．

点评 本题考查了直线的倾斜角、正弦定理、三角函数基本关系式、和差公式、向量夹角公式、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．