Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）若tanx=2，求f（x） 的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先根据向量的坐标的数量积公式得到f（x），再根据同角的三角形函数的关系即可求出答案，
（2）根据二倍角公式和两角和的正弦公式得到f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，再根据正弦函数的性质即可求出单调增区间

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinxcosx+cos²x=$\frac{sinxcosx+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{tanx+2}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{2+2}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z

点评 本题考查了向量的坐标的数量积公式和三角形函数的化简以及性质，属于中档题．