Question

1．已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P₁OP₂=θ（θ为钝角）．若sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，则x₁x₂+y₁y₂的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{5}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Answer 1

分析 根据题意表示出$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，根据向量数量积的运算求得x₁x₂+y₁y₂=cosθ，进而根据sin（θ+$\frac{π}{4}$）的值，求得cosθ的值．

解答 解：由题意可得$\frac{π}{2}$＜θ＜π，sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴$θ+\frac{π}{4}$是钝角，∴cos（$θ+\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
依题意知$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（x₁，y₁）
$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=x₁x₂+y₁y₂，
另外P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）在单位圆上，|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=1
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|•|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|cosθ=1•1•cosθ=cosθ，
∴x₁x₂+y₁y₂=cosθ，
∵cosθ=cos（θ+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故选：C

点评 本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用根据条件转化为向量数量积，以及利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键，注重了对学生基础知识的考查．