Question

13．已知△ABC中，$AC=2，A=\frac{2π}{3}，\sqrt{3}cosC=3sinB$．
（1）求AB；
（2）若D为BC边上一点，且△ACD的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求∠ADC的正弦值．

Answer 1

分析 （1）把B=$\frac{π}{3}-C$代入$\sqrt{3}$cosC=$\sqrt{3}$sinB化简即可得出C和B，于是△ABC是等腰三角形；
（2）根据面积公式计算CD，在△ACD中先利用余弦定理求出AD，在用正弦定理求出sin∠ADC．

解答 解析：（1）∵$A=\frac{2π}{3}$，∴$B=\frac{π}{3}-C$，
由$\sqrt{3}cosC=3sinB$得：$cosC=\sqrt{3}sin（{\frac{π}{3}-C}）$，
∴$cosC=\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC-\frac{1}{2}sinC}）=\frac{3}{2}cosC-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC$，
∴$\frac{1}{2}cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC$，即$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{6}$，
∴$B=\frac{π}{3}-C=\frac{π}{6}$，
∴AB=AC=2．
（2）∵S_△ACD=$\frac{1}{2}•AC•CDsin\frac{π}{6}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，∴$CD=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
在△ACD中，由余弦定理得：$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CD•cosC=\frac{7}{4}$，∴$AD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
由正弦定理得，$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴$sin∠ADC=\frac{AC•sinC}{AD}=\frac{{2\sqrt{2}}}{7}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理解三角形，属于中档题．