Question

已知向量a=(x²,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.

Answer 1

思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.

解:法一:由题意得f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

则f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x在区间(-1,1)上恒成立.

考虑函数g(x)=3x²-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=,开口向上的抛物线,故t≥3x²-2x在区间(-1,1)上恒成立t≥g(-1),即t≥5.

而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.

∴t的取值范围是t≥5.

法二:由题意得f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

则f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.

∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,

∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.

∴t的取值范围是t≥5.

    深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.