题目内容
已知向量| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围．
分析：（1）因为当|x|＜2时，
⊥
得
•
=0得到y与x的关系式；当|x|≥2时，
∥
时，得到
=
，联立得到f（x）为分段函数；
（2）要求函数f（x）的单调递减区间即分区间令y'＜0求出x的范围即可；
（3）根据mx2+x-3m≥0解出m≥
，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| -y |
| x |
| 1 |
| x2-3 |
（2）要求函数f（x）的单调递减区间即分区间令y'＜0求出x的范围即可；
（3）根据mx2+x-3m≥0解出m≥
| x |
| 3-x2 |
解答：解：（1）当|x|＜2时，由
⊥
得
•
=(x2-3)x-y=0，y=x3-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由
∥
．得y=-
∴y=f(x)=
（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x2-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=
=
＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥
对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=
=
＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=
=2，f(2)=
=-2
当x≤-2时f(x)=
＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
| a |
| b |
| a |
| b |
当|x|≥2时，由
| a |
| b |
| x |
| x2-3 |
∴y=f(x)=
|
（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x2-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=
| (3-x2)-x(-2x) |
| (3-x2)2 |
| 3+x2 |
| (3-x2)2 |
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥
| x |
| 3-x2 |
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=
| (3-x2)-x(-2x) |
| (3-x2)2 |
| 3+x2 |
| (3-x2)2 |
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=
| -2 |
| 3-4 |
| 2 |
| 3-4 |
当x≤-2时f(x)=
| x |
| 3-x2 |
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=(x2，x+1)，
=(1-x，t)，若函数f（x）=
•
在区间（-1，1）上是增函数，t的取值范围是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、[0，+∝] |
| B、[0，13] |
| C、[5，∝] |
| D、[5，13] |