Question

已知向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，若函数f（x）=

a

•

b

在区间（-1，1）上是增函数，t的取值范围是（　　）

• A、[0，+∝]
• B、[0，13]
• C、[5，∝]
• D、[5，13]

Answer 1

分析：利用两个向量的数量积公式求出函数f（x）的解析式，由题意可得f′（x）=-3x²+2x+t 在区间（-1，1）上大于0，
又二次函数f′（x）的对称轴为x=

1

3

，故有f′（-1）≥0，解不等式求得t的取值范围．

解答：解：函数f（x）=

a

•

b

=x²（1-x）+t（x+1）在区间（-1，1）上是增函数，
故函数f（x）的导数f′（x）=-3x²+2x+t 在区间（-1，1）上大于0．
又二次函数f′（x）的对称轴为x=

1

3

，故有f′（-1）≥0，即-3-2+t≥0，
∴t≥5，
故选C．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，利用导数研究函数的单调性，二次函数的最值，判断f′（x）=-3x²+2x+t 在区间（-1，1）上大于0，是解题的关键．