Question

已知向量a=(x²，x+1)，b=(1-x，t).若函数f(x)=a·b在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围.

Answer 1

分析：需先求函数f(x)的解析式，再由f′(x)≥0在(-1，1)上恒成立，即可求出t的取值范围.

解法一：依定义f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t，

    则f′(x)=-3x²+2x+t.

    若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上可设f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x在区间(-1，1)上恒成立.

    考虑函数g(x)=3x²-2x，由于g(x)的图象是对称轴为x=，开口向上的抛物线，故要使t≥3x²-2x在区间(-1，1)上恒成立t≥g(-1)，即t≥5.

    而当t≥5时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函数.

    故t的取值范围是t≥5.

解法二：依定义f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t.

f′(x)=-3x²+2x+t.

    若f(x)在(-1，1)上是增函数.则在(-1，1)上可设f′(x)≥0

∵f(x)的图象是开口向下的抛物线.

∴当且仅f(1)=t-1≥0，且f(-1)=t-5≥0时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函数.

    故t的取值范围是t≥5.