Question

已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）时，在上单调递减；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；时， 在上单调递增；（3）实数的取值范围为.

试题分析：（1）当时，先确定，接着求出，进而求出，最后由直线的点斜式即可写出所求的切线方程；（2）先确定函数的定义域，设，接着针对这个二次函数开口方向及与轴正半轴有多少个交点的问题分、、三类进行讨论，进而确定各种情况下的函数的单调区间，最后将各个情况综合描述即可；（3）法一：先将至少存在一个，使得成立的问题等价转化为：令，等价于“当 时，”，进而求取即可解决本小问；法二：设，定义域为，进而将问题转化为等价于当 时，，从中对参数分、、、，进行求解即可.
函数的定义域为，   1分
（1）当时，函数，，
所以曲线在点处的切线方程为
即         4分
（2）函数的定义域为
1.当时，在上恒成立
则在上恒成立，此时在上单调递减     5分
2.当时，
（ⅰ）若
由，即，得或      6分
由，即，得         7分
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为  9分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增                        10分
综上可知：时，在上单调递减；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；时， 在上单调递增
（3）因为存在一个使得
则，等价于                   12分
令，等价于“当 时，”
对求导，得                 13分
因为当时，，所以在上单调递增
所以，因此                16分
另解：设，定义域为

依题意，至少存在一个，使得成立
等价于当 时，               11分
（1）当时
在恒成立，所以在单调递减，只要
则不满足题意        12分
（2）当时，令得
（ⅰ）当，即时
在上，所以在上单调递增
所以，由得，，所以   13分
（ⅱ）当，即时
在上，所以在单调递减
所以，由得      14分
（ⅲ）当，即时， 在上，在上
所以在单调递减，在单调递增
，等价于或，解得，所以，       15分
综上所述，实数的取值范围为               16分.