Question

设函数定义在上，，导函数，．
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）区间在是函数的减区间；区间在是函数的增区间；最小值是
（2）当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
（3）不存在，见解析

（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．
（2），设，
则，
当时，，即，
当时，，，
因此函数在内单调递减，
当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
（3）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有             ①
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在，使对任意成立．
证法二 假设存在，使对任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而时，的值域为，
∴当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,
∴，这与假设矛盾．
∴不存在，使对任意成立．