Question

已知，函数．
（Ⅰ）当时，
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）(1) 单调递增区间为 ;(2) ;(Ⅱ)详见解析.

试题分析：（Ⅰ）(1)根据求出的值，然后利用,得到函数在定义域内都是单调递增的，从而写出其单调区间;
(2)当时，将不等式化简，整理为在区间上有解问题，可以反解,利用不等式在区间上有解，即大于等于其最小值，转化为求在区间上的最小值，
（Ⅱ）的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．然后对猜测进行证明，首先求其两点处的导数，即两切线的斜率，利用平行及斜率相等，证明,.
试题解析：（Ⅰ）（1）因为，所以，        1分
则，
而恒成立，
所以函数的单调递增区间为．        4分
（2）不等式在区间上有解，
即不等式在区间上有解，
即不等式在区间上有解，
等价于不小于在区间上的最小值．      6分
因为时，，
所以的取值范围是．        9分
Ⅱ.因为的对称中心为，
而可以由经平移得到，
所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，
则点与点关于点对称．        10分
对猜想证明如下：
因为，
所以，
所以，的斜率分别为，．
又直线与平行，所以，即，
因为，所以，，        12分
从而，
所以．
又由上，
所以点，（）关于点对称．
故当直线与平行时，点与点关于点对称．        14分