Question

已知函数，，且在点
处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；  
（3）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）2个

试题分析：（1）由函数，在点处的切线方程为.所以对函数求导，根据斜率为1以及过点（1,0）两个条件即可求出结论.
（2）由函数，对函数求导，并令可解得两个根，由于函数在区间内有且仅有一个极值点，的根在内有且仅有一个根.所以通过分类讨论即可求的取值范围.
（3）两曲线在交点处的切线分别为.若取，当直线与轴围成等腰三角形时.通过求导求出两函数的切线的斜率，即可得到这两斜率不可能是相等，所以依题意可得到两切线倾斜角有两倍的关系，再通过解方程和函数的单调性的判断即可得到结论.
（1），∴，又，
∴．                                              3分
（2）；
∴
由得，
∴或．                                          5分
∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点．                                                 6分
若，即，当时；当时，函数有极大值点，
若，即时，当时；当时，函数有极大值点，
综上，的取值范围是．              8分
（3）当时，设两切线的倾斜角分别为，
则，
∵， ∴均为锐角，                        9分
当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则．
由得，，
得，即，
此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．  11分
由得， ，
得，即，
设，，
当时，，∴在单调递增，则在单调递
增，由于，且，所以，则，
即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形． 
因此，当时，有两处符合题意，所以直线能与轴围成等腰三角形时，值的个数
有2个．                                                   14分