Question

18．设函数f（x）=|x+$\sqrt{a}$|-|x-$\sqrt{1-a}$|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$，可得实数b的范围．

解答 解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$，即|x+1|-|x|≥$\frac{1}{2}$，
即数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到原点的距离大于$\frac{1}{2}$，
而-0.25对应点到-1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于$\frac{1}{2}$，
故|x+1|-|x|≥$\frac{1}{2}$ 的解集为{x|x≥-0.25}．
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即 f（x）＜b恒成立，
则b大于f（x）的最大值．
函数f（x）=|x+$\sqrt{a}$|-|x-$\sqrt{1-a}$|表示数轴上的x对应点到-$\sqrt{a}$对应点的距离减去它到$\sqrt{1-a}$对应点的距离，
故f（x）的最大值为$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$，故实数b＞$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．