Question

（2008•湖北模拟）数列{4an}是一个首项为4，公比为2的等比数，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项及S_n
（2）设点列Qn(

an

n

，

Sn

n2

)，n∈N+试求出一个半径最小的圆，使点列Q_n中任何一个点都不在该圆外部．

Answer 1

分析：（1）根据数列{4an}是一个首项为4，公比为2的等比数，可得

4an

4an-1

=2，从而求出{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，即可求出数列{a_n}的通项及S_n；
（2）设Q_n（x，y），从而可得Q_n在直线3x-2y-1=0上，横坐标、纵坐标随n的增大而减小，并与(

1

2

，

1

4

)无限接近，故所求圆就是以（1，1）、(

1

2

，

1

4

)为直径端点的圆．

解答：解：（1）∵4a1=4∴a₁=1

4an

4an-1

=2∴4an-an-1=2
即an-an-1=

1

2

故{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列 （3分）
∴an=

n

2

+

1

2

，Sn=

1

4

n2+

3

4

n（5分）
（2）设Q_n（x，y）∴

x= 1 2 + 1 2n y= 1 4 + 3 4n

由此可得Q_n在直线3x-2y-1=0上                       （8分）
横坐标、纵坐标随n的增大而减小，并与(

1

2

，

1

4

)无限接近，
故所求圆就是以（1，1）、(

1

2

，

1

4

)为直径端点的圆即(x-

3

4

)2+(y-

5

8

)2=(

13

8

)2=

13

64

（12分）

点评：本题主要考查了数列的通项公式和数列的求和，以及极限的思想，属于中档题．