Question

19．在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$

Answer 1

分析 方法一：利用向量的射影即可求出，
方法二：根据向量数量积的公式，余弦定理，两角差的余弦公式即可求出．

解答 解：方法一：如图所示，过点C作CD⊥BA，交于点D，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=-[|$\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{CA}$|cos（180°-150°）]=-（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
方法二，等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，
∴B=15°，
∴cos15°=cos（45°-30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=1+1-2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2+$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{BC}$|cos（180°-15°）=1×$\sqrt{2+\sqrt{3}}$×（-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）=-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故选：A．

点评 本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量的射影和向量数量积，以及余弦定理解决本题的关键．