Question

已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.

(1)当n∈N^*时,求f(n)的表达式;

(2)设a_n=n·f(n),n∈N^*,求证:a₁+a₂+a₃+…+a_n<2;

(3)设b_n=(9-n),n∈N^*,S_n为{b_n}的前n项和,当S_n最大时,求n的值.

Answer 1

 (1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),

∴{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,

∴f(n)=()ⁿ.

(2)证明:设T_n为{a_n}的前n项和,

∵a_n=n·f(n)=n·()ⁿ,

∴T_n=+2×()²+3×()³+…+n×()ⁿ,

T_n=()²+2×()³+3×()⁴+…+(n-1)×()ⁿ+n×()ⁿ⁺¹,

两式相减得T_n=+()²+…+()ⁿ-n×()ⁿ⁺¹,

∴T_n=2-()^n-1-n×（）ⁿ<2.

(3)解:∵f(n)=（）ⁿ,

∴b_n=(9-n)=(9-n)=,

∴当n≤8时,b_n>0;

当n=9时,b_n=0;

当n>9时,b_n<0.

∴当n=8或9时,S_n取得最大值.