Question

若?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立?(x+

1

x+1

)min≥a，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：设f（x）=x+

1

x+1

，x∈[1，+∞）．
f′（x）=1-

1

(x+1)2

=

x(x+2)

(x+1)2

＞0，
∴函数f（x）=x+

1

x+1

在x∈[1，+∞）上单调递增．
∴f（x）≥f（1）=

3

2

．
∵?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立?(x+

1

x+1

)min≥a，
∴a≤

3

2

．
故答案为：a≤

3

2

．

点评：本题考查了导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．