Question

已知函数．

（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）若x∈[0，4]，使≥0成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）f（x）min＝－，f（x）max＝170；（2）（－∞，]

【解析】试题分析：（1）将f（x）转化为关于2x的二次函数，在限定区间上讨论单调性并求最值；（2）分离参数a，使之成为a≤g（t）恒成立的形式，求参数a的取值范围.

试题解析：（1）∵f（x）＝（2x）2－5·2x－6

设2x＝t，∵x∈[0，4]，则t∈[1，16]

∴f（x）＝h（t）＝t2－5t－6，t∈[1，16]

∵当t∈[1，]时函数单调递减；当t∈[，16]时函数单调递增

∴f（x）min＝h（）＝－，f（x）max＝h（16）＝170即为所求最大值和最小值.

（2）∵f（x）＋12－a·2x≥0恒成立，而t＝2x＞0

∴存在t∈[1，16]使得a≤t＋－5成立

令g（t）＝t＋－5在[1，]上递减，在[，16]上递增

而g（1）＝2＜g（16）＝

∴g（t）max＝g（16）＝

∴a≤g（t）max＝g（16）＝

∴a的取值范围是（－∞，]

考点：指数函数，二次函数的单调性，函数的最值，不等式恒成立问题，换元法