Question

侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA₁=2，点O，M分别是BC，A₁C₁的中点，建立如图所示空间直角坐标系．
（Ⅰ）写出三棱柱各项点及点M的坐标；
（Ⅱ）求cos（

CM

，

BA1

）的值．

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据图形及边的关系，容易求出要求的点的坐标．
（Ⅱ）先根据向量数量积的坐标运算，求出

CM

•

BA1

，再根据向量的坐标求出向量的长度，带入向量夹角的余弦公式即可求出cos（

CM

，

BA1

）．

解答：解：（Ⅰ）根据图形可求得下列点的坐标：
A（

3

，0，0），B（0，-1，0），C（0，1，0），A1(

3

，0，2)，B₁（0，-1，2），C₁（0，1，2），M(

3

2

，

1

2

，2)．
（Ⅱ）

CM

=(

3

2

，-

1

2

，-2)，

BA1

=(

3

，1，2)；
∴

CM

•

BA1

=-3，|

CM

|=

5

，|

BA1

|=2

2

；
∴cos(

CM

，

BA1

)=

-3

2 10

=-

3 10

20

．

点评：考查空间向量点的坐标，向量的坐标，根据向量坐标求数量积，求向量长度，以及向量夹角的余弦公式．