Question

已知函数f(x)=3^x+k(k为常数)，A(-2k,2)是函数y=f^-1(x)图象上的点.

(1)求实数k的值及函数f^-1(x)的解析式；

(2)将y=f^-1(x)的图象按向量a=(3，0)平移，得到函数y=g(x)的图象，若2f^-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵A(-2k,2)是函数y=f^-1(x)图象上的点，

    ∴B(2,-2k)是函数y=f(x)上的点.

    ∴-2k=3²+k.∴k=-3.

    ∴f(x)=3^x-3.

    ∴y=f^-1(x)=log₃(x+3)(x＞-3).

    (2)将y=f^-1(x)的图象按向量a=(3,0)平移，得到函数y=g(x)=log₃x(x＞0)，要使2f^-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立，即使2log₃(x+)-log₃x≥1恒成立，

    ∴有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要(x++2)_min≥3.

    又x+≥2(当且仅当x=,即x=时等号成立)，

    ∴(x++2)_min=4，即4≥3.

    ∴m≥