Question

【题目】已知点是圆：上一动点，线段与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点（点与，不重合），直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

(1)设点，,由已知条件找到两点坐标之间的关系，然后利用相关点法即可求得点E的轨迹方程；（2）根据已知条件设直线AP,BP的方程，当x=4时可得点M,N的坐标，从而可得以MN为直径的圆的方程，整理即得圆经过的定点.

（1）设点，.

当时，易得；

当时，有，所以.又，所以.

代入的方程，得，即.

（2）证明：设直线，的斜率分别为，，记.

则 ，.

直线的方程为，所以.

直线的方程为，所以.

以为直径的圆的方程为.

整理，得 .

令解得或

所以以为直径的圆过定点，.