Question

11．已知函数f（x）=lg（100^x+1）-ax，x∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下证明，函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

分析 （I）由于函数f（x）是偶函数，可得f（-x）=f（x），解出即可．
（II）由几何画板画出x≥0时函数f（x）=lg（100^x+1）-x的图象，函数f（x）是单调递增函数．任意取0≤x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$+（x₁-x₂），由于$\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$，可得$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞lg$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$=x₂-x₁，代入即可证明．0，

解答 （I）解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴lg（100^-x+1）+ax=lg（100^x+1）-ax，
化为：2（a-1）x=0，对于?x∈R恒成立，
∴a=1．
解得验证满足条件．
∴a=1．
（II）证明：由几何画板画出x≥0时函数f（x）=lg（100^x+1）-x的图象，函数f（x）是单调递增函数．
?0≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=$[lg（10{0}^{{x}_{2}}+1）-{x}_{2}]$-[$lg（10{0}^{{x}_{1}}+1）$-x₁]=$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$+（x₁-x₂），
∵$\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$，
∴$lg\frac{10{0}^{{x}_{2}}+1}{10{0}^{{x}_{1}}+1}$＞lg$\frac{1{0}^{{x}_{2}}}{1{0}^{{x}_{1}}}$=x₂-x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁+（x₁-x₂）=0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、对数的运算性质、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．