Question

3．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
（3）要使该月用于支付运费和保管费的资金费用最少，每批进货的数量应为多少？

Answer 1

分析 （1）不妨设题中比例系数为k，每批购入x 台，共需分$\frac{36}{x}$批，每批价值为20x 元，总费用f（x）=运费+保管费；由x=4，y=52可得k，从而得f（x）；
（2）每批进货的数量控制在4≤x≤9，资金才够用．令$\frac{144}{x}$+4x≤52，解不等式即可得到；
（3）由（1）的解析式，由基本不等式可求得当x为何值时，f（x）的最小值．

解答 解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x 台，则共需分$\frac{36}{x}$批，
每批价值为20x 元，
由题意，得：f（x）=$\frac{36}{x}$•4+k•20x，
由x=4时，y=52，得：k=$\frac{1}{5}$，
即有f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N）；
（2）每批进货的数量控制在4≤x≤9，资金才够用．
理由如下：令$\frac{144}{x}$+4x≤52，化简为（x-4）（x-9）≤0，
解得4≤x≤9；
（3）由（1）知，f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N），
则f（x）≥2$\sqrt{\frac{144}{x}•4x}$=48，
当且仅当$\frac{144}{x}$=4x，即x=6时，上式等号成立；
故只需每批购入6张书桌，
可以使该月用于支付运费和保管费的资金费用最少．

点评 本题考查函数模型的运用，考查不等式的解法和基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．