Question

16．数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，且$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}=\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），则a₆等于（　　）

• A． -3
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}为常数列．然后利用累加法求得a₆．

解答 解：∵$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}=\frac{2}{{{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+2}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}为常数列．
首项为$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{4}}-\frac{1}{{a}_{3}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{4}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{6}}-\frac{1}{{a}_{5}}=\frac{1}{2}$．
累加得：$\frac{1}{{a}_{6}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{6}}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，则${a}_{6}=\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列通项公式，是中档题．