Question

8．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）：
（1）若a＞0，试确定函数f（x）的单调性；
（2）若a=4，求f（x）在[1，3]内的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，这样便可说明f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上递减，而在$（\sqrt{a}，+∞）$上递增，这样即判断出了f（x）的单调性；
（2）根据（1）便知，f（x）在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，从而x=2时，f（x）取到最小值，然后再求f（1）和f（3）便可得出f（x）的最大值，即可得出f（x）在[1，3]上的取值范围．

解答 解：（1）设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵a＞0；
∴①${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}]$时，则$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
又x₁-x₂＞0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上单调递减；
②${x}_{1}，{x}_{2}∈（\sqrt{a}，+∞）$时，$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$（\sqrt{a}，+∞）$上单调递增；
（2）若a=4，则$f（x）=x+\frac{4}{x}$，根据上面，f（x）在[1，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增；
∴f（2）=4是f（x）在[1，3]上的最小值；
又f（1）=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$；
∴f（x）在[1，3]内的取值范围为[4，5]．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分，并一般要提取公因式x₁-x₂，根据单调性求函数在闭区间上的值域的方法．