Question

已知
（1）当时，求的极大值点；
（2）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行.

Answer 1

（1）;（2）证明见解析.

试题分析：（1）极值点的求法是利用导数知识求解，求出，求得的解，然后确定当以及时的的符号，若当时，，当时，，则是极大值点，反之是极小值点；（2）题设中没有其他的已知条件，我们只能设，则的横坐标为，利用导数可得出切线的斜率，，题设要证明的否定性命题，我们用反证法，假设两切线平行，即，也即，下面的变化特别重要，变化的意图是把这个等式与已知函数联系起来，等式两边同乘以，得
，从而等式变为，注意到，此等式为能否成立？能成立，说明存在平行，不能成立说明不能平行.设，仍然用导数的知识来研究函数的性质，，即是增函数，从而在时，，即等式不可能成立，假设不成立，结论得证.
试题解析：（1）
                2分
令h’(x)=0，则4x²+2x-1=0，
解出x₁=,x₂=                  3分
   4分
   5分
所以的极大值点为                   6分
（2）设P、Q的坐标分别是.
则M、N的横坐标.
∴C₁在点M处的切线斜率为，
C₂在点N处的切线斜率为.            7分
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则，
即                    8分
则
                       10分
设t=,则   ①
令则

∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)>r(1)=0.
∴，这与①矛盾，假设不成立，
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.        12分