Question

设函数（，为常数）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，证明：当时，.

Answer 1

①②见题解析

试题分析：（Ⅰ）求函数的导数,分类讨论二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一步确定原函数的单调性. （Ⅱ）先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间,故利用均值不等式进行放缩, 后,函数可以通过求导研究值域,且 恒成立是恒成立的充分条件,注意需要二次求导.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为， ，
（1）当时，解得或；解得
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；
（3）当时，解得或；解得
所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ……（6分）
（Ⅱ）证明:不等式等价于
因为， 所以 ，
因此    
令， 则
令得：当时，
所以在上单调递减，从而. 即，
在上单调递减，得:，
 当时，.. ……（12分）