Question

设集合X是实数集R的子集，如果点x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x-x₀|＜a，那么称x₀为集合X的聚点．现有下列集合：
①{y|y=e^x}，
②{x|lnx＞0}，
③{x|x=

1

n

，n∈N*}，
④{x|x=

n

n+1

，n∈N*}．
其中以0为聚点的集合有（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：子集与交集、并集运算的转换

专题：函数的性质及应用

分析：本题在理解新定义“聚点”的基础上，找出适合条件的函数，得到本题结论．

解答： 解：①{y|y=e^x}，
∵y=e^x∈（0，+∞），
∴{y|y=e^x}=（0，+∞），
∴对任意a＞0，都存在

a

2

∈X，使得|

a

2

-0|＜a，
∴集合{y|y=e^x}是0为聚点的集合；
②{x|lnx＞0}，
∵lnx＞0，
∴x＞1，
∴{x|lnx＞0}=（1，+∞），
∵对

1

2

＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x-0|＜

1

2

，
∴集合{x|lnx＞0}不是0为聚点的集合；
③{x|x=

1

n

，n∈N*}，
∵{x|x=

1

n

，n∈N*}={1，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…}
∴对任意a＞0，都存在

1

n

∈X，使得|

1

n

-0|＜a，
∴集合{x|x=

1

n

，n∈N*}是0为聚点的集合；
④{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，
∵{x|x=

n

n+1

，n∈N*}={

1

2

，

2

3

，

3

4

，…}，
∴∵对

1

3

＞0，不存在x∈{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，使得|x-0|＜

1

3

，
∴集合{x|x=

n

n+1

，n∈N*}不是0为聚点的集合．
综上，应选①③．
故选B．

点评：本题考查了新定义集合，还考查了函数值域和数列的单调性，本题难度不大，属于基础题．