Question

1．已知数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=a_n-ln（a_n+1），求证：
（1）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（2）若a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a_n+1＜$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$，则当n≥2时，a_n＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n∈N^*．又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=a_n-ln（1+a_n）-a_n=-ln（1+a_n）＜0，从而a_n+1＜a_n；
（2）利用累乘法即可证明．

解答 证明：（1）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1．
①当n=1时，由已知得结论成立
②假设n=k（k∈N₊）时0＜a_k＜1成立，则当n=k+1时，设f（x）=x-ln（x+1），
于是f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$在（0，1）上恒有f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递增，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1）=1-ln2＜1，又f（0）=0，从而0＜a_k+1＜1，
这就是说当n=k+1时命题成立，
由①②知0＜a_n＜1成立
又a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）＜0，即a_n+1＜a_n，
综上可得，0＜a_n+1＜a_n＜1，n∈N₊．
（2）∵a_n+1＜$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{2}$，
从而当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜$\frac{{a}_{1}}{2}$×$\frac{{a}_{2}}{2}$×…×$\frac{{a}_{n-1}}{2}$，
∵a₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0＜a_n+1＜a_n＜1；
∴a_n＜$\frac{{a}_{1}}{2}$×$\frac{{a}_{2}}{2}$×…×$\frac{{a}_{n-1}}{2}$•a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$

点评 本题主要考查数列与函数，不等式的综合运用，主要涉及了数学归纳法，导数法，累乘法等常用解题方法，综合性强，要求思路要清，意志力要强．