Question

10．某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A，B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的数据统计分析，A品牌的销售利润y₁与投入资金x成正比，其关系如图所示，B品牌的销售利润y₂与投入资金x的关系为y₂=$\frac{3}{4}\sqrt{x}$．
（1）求A品牌的销售利润y₁与投入资金x的函数关系式．
（2）该商场计划投入5万元经销该种商品中，并全部投入A，B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）设y₁=k₁x（x＞0），代入点（2，0.5），解方程即可得到所求函数的解析式；
（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5-x）万元，则$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$（0＜x＜5），求导数，可得y的最大值．

解答 解：（1）设y₁=k₁x（x＞0），因为图象过点（2，0.5），所以${k_1}=\frac{1}{4}$
所以${y_1}=\frac{1}{4}x$（x＞0）
（1）设总得润为y万元，投入B品牌为x万元．则投入A品牌为（5-x）万元．
所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$（0＜x＜5）
则$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}$
令$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}$=0
得$x=\frac{9}{4}$
当$x∈（0，\frac{9}{4}）$时，$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}＞0$，所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$在$（0，\frac{9}{4}）$递增，
当$x∈（\frac{9}{4}，5）$时，$y'=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x^{-\frac{1}{2}}}＜0$，所以$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}$在$（\frac{9}{4}，5）$递减．
所以当$x=\frac{9}{4}$时，${y_{max}}=\frac{29}{16}$（万元）
答：投入投入B品牌为$\frac{9}{4}$万元．投入A品牌为$\frac{11}{4}$万元，经销该种商品获得利润最大，最大利润为$\frac{29}{16}$万元．

点评 本题考查函数的解析式的求法和函数的最值，考查导数知识的运用，属于中档题．